理解整数在计算机中的表示

理解整数在计算机中的表示

理解计算机如何表示整数，不仅是学习编程语言的基础，更是掌握计算机系统设计哲学的关键。这篇文章将带你从最底层的物理存储单位开始，一步步构建起对整数表示的完整认知，最终理解为什么工程实践中我们要做出特定的类型选择。
第一层：物理基础——bit 与 byte 的本质关系

让我们从计算机存储的最底层开始思考。在硬件电路中，信息的最小单位是 bit（比特），它对应着晶体管的两种物理状态：高电平或低电平，我们用 0 和 1 来抽象表示这两种状态。这是一切数字信息的起点。
然而，如果我们以单个 bit 为单位来组织内存，系统的复杂度会急剧增加。想象一下，如果每次访问内存都需要精确到某一个具体的 bit 位置，那么地址总线的设计、内存控制器的逻辑都会变得极其复杂。因此，计算机系统做出了一个关键的设计决策：以 byte（字节）作为内存的最小可寻址单位。
一个 byte 恰好包含 8 个 bit，这不是偶然的选择。8 这个数字既足够小，能够精细控制内存分配，又足够大，能表示 2⁸ = 256 种不同的状态，这对于表示常见的字符和小数值来说已经足够了。更重要的是，CPU 的数据总线宽度、寄存器大小等硬件设计都围绕着这个基本单位展开。当你在 C++ 中看到 sizeof 运算符返回的值时，它返回的就是某个类型占用了多少个这样的基本地址单位——字节。
这种设计带来了一个重要的推论：一个类型占用的字节数，直接决定了它能表示多少种不同的数值。如果一个类型占用 N 个字节，那么它拥有 8N 个 bit，可以表示 2^(8N) 种不同的状态。这是理解所有数据类型取值范围的基础。
第二层：逻辑约束——从 bit 数到取值范围

现在我们知道了类型的字节数决定了可表示的状态总数，接下来的问题是：这些状态如何映射到我们需要的数值？这就涉及到有符号数和无符号数的区别。
对于无符号整数，逻辑非常直接。如果我们有 N 个 bit，那么我们可以表示从 0 到 2^N - 1 的所有非负整数。这 2^N 个状态被均匀地分配给了非负数轴上的整数。
但有符号整数的情况就复杂得多。我们需要同时表示正数、负数和零，而总的状态数量是固定的。在补码系统中（我们稍后会深入讨论为什么必须使用补码），一个关键的设计决策是：用最高位来表示符号。当最高位是 0 时表示非负数，是 1 时表示负数。
这个决策带来了一个有趣的数学结果。以 8 bit 有符号整数为例，我们有 256 个可能的状态。其中，最高位为 0 的有 128 个状态（从 00000000 到 01111111），最高位为 1 的也有 128 个状态（从 10000000 到 11111111）。前者用于表示 0 到 127，后者用于表示 -128 到 -1。
你可能会问：为什么负数比正数多一个？这不是人为的不对称，而是数学上的必然。我们有 256 个状态要分配，零必须占用一个状态（通常是全零），剩下 255 个状态需要在正数和负数之间分配。由于 255 是奇数，无论如何分配都会出现不对称。补码系统选择让负数多一个，这样做的原因我们在讨论补码时会看到，这个选择让硬件实现变得更加优雅。
由此，我们得到了有符号整数的通用范围公式：对于 N 个 bit 的有符号整数，可表示的范围是 -2^(N-1) 到 2^(N-1) - 1。这不是记忆规则，而是从 bit 数和符号位设计自然推导出的结果。
第三层：语言抽象——C++ 类型系统的设计哲学

理解了底层的 bit 和 byte 机制后，我们来看 C++ 如何在语言层面抽象这些概念。这里有一个重要的认知：C++ 标准故意不规定每种整数类型的精确大小。
C++ 标准只规定了类型之间的相对关系。它保证 sizeof(char) == 1，这是定义上的约定——char 就是一个字节。然后它保证 short 至少和 char 一样大，int 至少和 short 一样大，long 至少和 int 一样大，long long 至少和 long 一样大。但具体每个类型占用多少字节，标准留给了具体的平台和编译器实现。
这种设计哲学反映了一个深刻的现实：不同的硬件架构有不同的特性。在 16 位系统上，int 可能是 2 字节；在 32 位系统上，int 通常是 4 字节；而在 64 位系统上，int 仍然常常是 4 字节，但 long 的大小就变得不确定了——在 Linux 上通常是 8 字节，在 Windows 上却还是 4 字节。
让我们看一个典型的 64 位 Linux 系统的例子。char 是 1 字节，8 个 bit，有符号范围是 -128 到 127。short 是 2 字节，16 个 bit，范围是 -32,768 到 32,767。int 是 4 字节，32 个 bit，范围是 -2,147,483,648 到 2,147,483,647，这大约是正负 21 亿。long long 是 8 字节，64 个 bit，范围是 -9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807，这是正负 922 亿亿的数量级。
这里的关键洞察是：当两个类型占用相同的字节数时，它们的取值范围必然相同。如果在某个平台上 int 和 long 都是 4 字节，那么它们能表示的数值范围完全一致。这不是巧合，而是直接源于我们前面建立的基础：字节数决定 bit 数，bit 数决定状态数，状态数决定范围。
第四层：系统差异——跨平台一致性的挑战

现在我们要面对一个工程实践中的重要问题：同一份 C++ 代码，在不同系统上可能产生不同的输出，这是设计如此，不是 bug。
想象你写了这样一段代码：
[code]long value = 1000000000;std::cout