LFM线性调频和脉冲压缩的理论总结与仿真

一、背景

使用雷达探测物体时，雷达发射电磁波，电磁波撞到物体后反射回来，雷达接收回波信号来判断物体的位置。想象一下，如果雷达发出的信号非常弱，信号还没有到达物体处或者回波还没回来就衰减差不多了，雷达就探测不到物体的位置。雷达发射信号的功率有限，那么如果要提高信号的总能量，就只能增加信号的持续时间。
这样是能探测到物体了，但是如果两个物体离得很近会发生什么呢。雷达发出的微波信号，在碰到第一个物体时返回，过一段时间碰到第二个物体的信号也会返回。由于回波信号的时间很长，雷达信号在接收第一个回波信号的过程中，第二个回波信号又来了，这就会造成两个信号叠加，雷达无法分辨出这两个距离过近的物体。
对于以上说明的情况来说，远距离探测和高分辨率是一对矛盾点。那么有没有什么方法，能够一定程度上在探测距离和分辨率指标上都有能有较好的表现呢，线性调频和脉冲压缩就是为了解决这个问题。
二、线性调频信号

顾名思义，线性调频信号（LFM）的瞬时频率随时间线性变化，频率\(f\)与时间\(t\)的关系和表示为

\[f(t) = f_c + K \cdot t\]
其中：

• \(f_c\) 是脉冲的中心频率。
  
• \(K\) 是调频率（或称啁啾率），表示频率变化的速度，单位是 \(\text{Hz/s}\)。
  
• \(K = \frac{B}{T}\)，其中 \(B\) 是带宽， \(T\) 是脉冲宽度。
  

LFM 信号的数学表达式可以写作

\[s(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) \cdot e^{j 2 \pi (f_c t + \frac{1}{2} K t^2)}\]
其中 \(\text{rect}(\frac{t}{T})\) 是一个矩形窗函数，表示信号的时宽为 \(T\)。

\[\text{rect}(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } |t| < \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & \text{if } |t| = \frac{1}{2} \\0 & \text{if } |t| > \frac{1}{2}\end{cases}\]
LFM 具有长时宽（T）和大带宽（B）的特点。长时宽意味着可以在保持峰值功率较低的同时，注入更多的总能量，从而提高雷达的作用距离（探测灵敏度）。大带宽能够提高雷达的距离分辨率

\[\Delta R \propto \frac{c}{2B}\]
这个结论记住就好，即带宽越大，距离分辨力越好，下面会进行推导。
LFM 信号的优势在于它将长时宽（高能量）和大带宽（高分辨率）这两个通常相互矛盾的指标结合起来。
三、脉冲压缩

脉冲压缩是一种信号处理技术，它允许雷达在发射长脉冲（高能量）的同时，获得短脉冲（高分辨率）的效果。它通过对回波信号进行匹配滤波来实现。
首先雷达接收到目标反射回来的长 LFM 脉冲 \(r(t)\)。
然后需要对接收到的 \(r(t)\) 进行匹配滤波，其被输入到一个匹配滤波器中，这个滤波器的冲激响应 \(h(t)\) 是发射 LFM 信号 \(s(t)\) 的时间反转和共轭：

\[h(t) = s^*(T - t)\]
匹配滤波器的输出 \(y(t)\) 是输入信号 \(r(t)\) 与滤波器冲激响应 \(h(t)\) 的卷积：

\[y(t) = r(t) * h(t)\]
由于 \(h(t)\) 是 \(s(t)\) 的匹配滤波器，当回波信号 \(r(t)\) 与其匹配滤波器卷积时，输出信号的能量会被集中到时间轴上的一个非常窄的尖峰中。

• 压缩前的脉宽： \(T\) (长时宽)
  
• 压缩后的脉宽： \(\tau \approx \frac{1}{B}\) (窄时宽)
  

脉冲压缩带来的性能提升由时间带宽积 (Time-Bandwidth Product, TB) 决定。
四、LFM 表达式用复数的原因

现实世界中的信号只有实数，没有复数，因此使用复数作为信号表达式本质上是一种数学技巧，目的是更加便于分析处理信号。
在雷达或通信系统中实际发射接收到的信号，比如一个随时间变化的电压，肯定是实数，比如说

\[S_{real}(t)=rect(\frac{t}{T}cos(2\pi f_c t + \pi K t^2))\]
这个才是物理上真正存在的信号。
余弦函数虽然直观，但它有两个“隐藏成分”：正频率和负频率。而且当你做傅里叶变换、滤波、匹配滤波、时频分析等操作时，余弦会让公式变得又长又复杂，还容易出错。比如，如果你对 cos(θ) 做傅里叶变换，你会得到两个冲激——一个在正频率，一个在负频率。但在很多工程应用中（比如雷达），我们其实只关心正频率部分，因为负频率是数学产物，没有物理意义。
复数表示只保留有用的一半。复指数信号在数学上有个神奇的性质：它的傅里叶变换只出现在正频率。这就相当于把余弦“拆开”，只取我们关心的那一半（称为解析信号或复包络）。这样做的好处是

• 计算简单：导数、积分、卷积、傅里叶变换都更容易。
  
• 避免负频率干扰：专注处理正频率，符合实际系统带通特性。
  
• 便于调制解调建模：现代通信和雷达系统普遍用“复基带模型”，把高频载波去掉，只处理低频的复包络，大大简化设计。
  

我们在仿真或理论分析时用复数形式，但在真正发射信号前，会取它的实部。所以复数只是中间工具，最终还是要回到实数世界。
五、距离分辨率推导

先定性分析一下。

• 如果你发射一个纯正弦波（比如连续波，带宽 B≈0），那它看起来“平平无奇”，持续很久都一样，你根本没法判断回波是早到 1 纳秒还是晚到 1 纳秒——分辨率极差。
  
• 但如果你发射一个变化剧烈的信号（比如一个很窄的脉冲，或者频率快速扫过的 LFM 信号），它的“特征”很明显，稍微时间错开一点，波形就对不上了——就能分辨得很细。
  

而信号“变化有多快”，在频域里就体现为带宽 B 越大。所以：带宽越大 → 时间分辨力越高 → 距离分辨率越好（ΔR 越小）。
雷达波走的是“来回”路径。如果目标距离是 \(R\)，那么电磁波走过的总路程是 \(2R\)，所需时间（时延）为：

\[\tau=\frac{2R}{c}\ =>\ R=\frac{c\tau}{2}\]
所以，距离差\(\Delta R\)对应时间差\(\Delta \tau\)

\[\Delta R = \frac{c}{2} \Delta \tau\]
因此要提高距离分辨率（降低\(\Delta R\)），就要能分辨很小的\(\Delta \tau\)
有个信号处理的基本原理（来自傅里叶变换的不确定性原理）,一个信号在时域的“最小可分辨时间间隔”大约是其频域带宽的倒数：

\[\Delta \tau \approx \frac{1}{B}\]
综合可得

\[\Delta R = \frac{c}{2B}\]
误区正确理解“载频越高，分辨率越好”❌ 分辨率只看带宽 B，不是载频 f**c。你可以用 1 GHz 载频 + 10 MHz 带宽，也可以用 10 GHz 载频 + 10 MHz 带宽，分辨率一样！“脉冲越窄，分辨率越好”✅ 对于简单脉冲雷达是对的，因为窄脉冲天然带宽大（B≈1/脉宽）。但脉冲压缩技术让我们可以用宽脉冲+大带宽达到同样效果，还能提高能量。六、关于中心频率的定义

情况一：LFM 以载频 \(f_c\)为中心（对称调频）

• 起始频率：\(f_{start}=f_c−\frac{B}{2}\)
  
• 终止频率：\(f_{end}=f_c+\frac{B}{2}\)
  
• 带宽：\(B=f_{end}−f_{start}=10MHz\)
  
• 最高频率  \(f_0 + B\)。
  

这种定义在理论分析、匹配滤波设计中很常见。
情况二：LFM 从某个起始频率开始单向扫描（更贴近工程实际）
很多雷达系统并不强制让 LFM 以 \(f_c\)为中心，而是这样定义：

• 起始频率：\(f_0\)
  
• 终止频率：\(f_0 + B\)
  
• 带宽：\(B=10MHz\)
  
• 此时，中心频率（也叫“射频载频”）通常定义为：
  
  \[f_c=f_0 + \frac{B}{2}\]
  

所以最高频率 \(f_0 + B\)。
七、MATLAB 脉压仿真

[code]%% LFM 脉冲压缩仿真（含 SLL 和 SNR 分析）clear; close all; clc;%% 系统参数c = 3e8;               % 光速 (m/s)fc = 1e9;              % 载频 1 GHz（仅用于显示，基带仿真可忽略）B = 10e6;              % 带宽 10 MHzT = 10e-6;             % 脉宽 10 微秒fs = 50e6;             % 采样率（需 > 2*B，这里取 50 MHz）ts = 1/fs;N = round(T * fs);     % 采样点数t = (-N/2 : N/2 - 1)' * ts;  % 时间向量（对称）%% 1. 生成基带 LFM 信号（复数形式）K = B / T;                      % 调频率s = exp(1j * pi * K * t.^2);    % 基带 LFMs(t < -T/2 | t > T/2) = 0;      % 加矩形窗（实际已由 t 范围限制）%% 2. 频域分析S = fftshift(fft(s));           % fft 计算出的结果直流和低频在两端，高频在中间。                                % fftshif 的作用是使得直流和低频在中心，高频在两端。f = (-N/2 : N/2-1)' * fs / N;   % 频率轴（基带）%% 3. 脉冲压缩：匹配滤波% 匹配滤波器 = s 的时间反转共轭h = conj(flipud(s));            % flipud 的作用是上下翻转数组y = conv(s, h, 'same');         % 脉压输出（无噪声）                                % 卷积操作的输出 y 的长度必须与输入信号 s 的长度相同。y = y / max(abs(y));            % 归一化主瓣为 1% 添加白噪声（用于 SNR 计算）SNR_in_dB = 10;                                 % 输入信噪比（dB）noise_power = var(s) / (10^(SNR_in_dB/10));     % 根据输入 SNR 设置噪声功率n = sqrt(noise_power/2) * (randn(size(s)) + 1j*randn(size(s)));y_noisy = conv(s + n, h, 'same');y_noisy = y_noisy / max(abs(y));                % 仍用无噪主瓣归一化（便于比较）%% 4. 计算 SLL（旁瓣抑制比）mag_y = abs(y);[~, main_idx] = max(mag_y);                     % 主瓣位置，~为忽略输出变量值% 排除主瓣附近区域（比如 ±2 个主瓣宽度），找最大旁瓣mainlobe_width_samples = round(1/(B*ts));       % 理论主瓣宽度 ≈ 1/B                                                % 1/B 是时间宽度（秒）,ts 是采样间隔（秒/点），这个式子是求主瓣占多少个采样点                                                % 加round是因为数组的下标必须是整数mask = true(size(mag_y));                       % size 返回数组的维度，比如 500 行 1 列: [500 1]                                                % true 用于创建一个逻辑数组，维度与 size                                                % 返回的完全相同，默认值都为truemask(max(1, main_idx - mainlobe_width_samples) : min(end, main_idx + mainlobe_width_samples)) = false;                                                % 把主瓣附近区域设为 false，表示“这些不是旁瓣，不能参与最大旁瓣搜索”                                                % 上面两行的结果：mask 是一个逻辑数组，主瓣区域为 false，其余为 truemax_sidelobe = max(mag_y(mask));                % 只取出 mask 为 true 的那些点（即旁瓣区域的幅度值）找最大值% SLL（dB）= 20log10(最大旁瓣幅度 / 主瓣幅度) = 20log10(最大旁瓣幅度)（因为主瓣=1）SLL_dB = 20 * log10(max_sidelobe);              % 因为主瓣已归一化为 1%% 5. Peak SNR（在有噪输出中计算）计算方法：主瓣峰值处的信号功率 / 噪声功率peak_signal_power = abs(y_noisy(main_idx))^2;   % 峰值处信号功率% 噪声功率估计：用远离主瓣的区域noise_region = mag_y < 0.1;                     % 假找出所有幅度小于 0.1 的位置                                                % 为什么选 0.1？                                                % 主瓣归一化为 1，LFM 的第一旁瓣约 0.22（-13 dB），更远的旁瓣迅速衰减                                                % 所以 远离主瓣的区域（如 |t| > 3/B）幅度通常