[自动控制原理] 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 学习笔记

一、复数与复变函数基础

1. 复数的表示

复数 \(s\) 通常表示为：

\[s = \sigma + j\omega \]
其中：

• \(\sigma\) 为实部 (Real Part)
  
• \(\omega\) 为虚部 (Imaginary Part)
  
• \(j = \sqrt{-1}\) (虚数单位)
  

复数的其他表示形式：

• 三角形式：\(s = r(\cos\theta + j\sin\theta)\)
  
• 指数形式：\(s = re^{j\theta}\)
  
  
  
  • 其中 \(r = |s| = \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}\) (模)
    
  • \(\theta = \arg(s)\) (辐角)
    
  
  

2. 复变函数

以复数 \(s\) 为自变量，按某一特定关系构成的函数 \(G(s)\) 称为复变函数。

• 零点 (Zeros)：当 \(s = z_i\) 时，若 \(G(s) = 0\)，则称 \(z_i\) 为 \(G(s)\) 的零点。
  
• 极点 (Poles)：当 \(s = p_i\) 时，若 \(G(s) \to \infty\)，则称 \(p_i\) 为 \(G(s)\) 的极点。
  

二、拉氏变换与拉氏反变换的定义

拉氏变换是控制工程中的基本数学方法，其核心优点是将时间域 (\(t\)) 的微分方程转化为 复频域 (\(s\)) 的代数方程。
1. 拉普拉斯变换 (正变换)

设有时间函数 \(f(t)\)，其中 \(t \ge 0\)，则 \(f(t)\) 的拉氏变换记作：

\[L[f(t)] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt\]

• \(L\)：拉氏变换符号
  
• \(s\)：复变量
  
• \(F(s)\)：象函数 (Image Function)
  
• \(f(t)\)：原函数 (Original Function)
  

拉氏变换存在的条件 (狄里赫利条件)：

• 在任何有限区间内，\(f(t)\) 分段连续，只有有限个间断点。
  
• 当 \(t \to \infty\) 时，\(f(t)\) 的增长速度不超过某一指数函数，即 \(|f(t)| \le Me^{at}\) (\(M, a\) 为实常数)。
  

2. 拉普拉斯反变换 (逆变换)

将象函数 \(F(s)\) 变换成与之相对应的原函数 \(f(t)\) 的过程。

\[f(t) = L^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s)e^{st} ds \]

• \(L^{-1}\)：拉氏反变换符号
  
• 计算方法：实际应用中通常不直接使用积分公式，而是采用 ① 查拉氏变换表 或 ② 部分分式展开法。
  

三、典型时间函数的拉氏变换

在实际系统分析中，输入信号常简化为以下典型函数：
序号函数名称时域表达式 \(f(t), t \ge 0\)拉氏变换 \(F(s)\)备注1单位阶跃函数\(1(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}\)\(\frac{1}{s}\)2单位脉冲函数\(\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases}\) (且 \(\int \delta(t)dt=1\))\(1\)3单位斜坡函数\(t\)\(\frac{1}{s^2}\)也称速度函数4指数函数\(e^{at}\)\(\frac{1}{s-a}\)5正弦函数\(\sin(\omega t)\)\(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\)利用欧拉公式推导6余弦函数\(\cos(\omega t)\)\(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\)7幂函数\(t^n\) (\(n\)为正整数)\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)

注：正弦/余弦函数的推导利用欧拉公式：\(e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t\)。

四、拉氏变换的重要性质

1. 线性性质

若 \(L[f_1(t)] = F_1(s)\)，\(L[f_2(t)] = F_2(s)\)，且 \(k_1, k_2\) 为常数，则：

\[L[k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t)] = k_1 F_1(s) + k_2 F_2(s) \]
2. 位移定理

分为实数域位移（时移）和复数域位移（频移）。
<ul>
(1) 实数域位移定理 (延迟定理)
若 \(L[f(t)] = F(s)\)，且 \(t