浮点数的本质：为什么计算机无法精确表示0.1

浮点数的本质：为什么计算机无法精确表示0.1

当你在 C++ 中写下 float x = 0.1; 时，你以为计算机存储的就是精确的 0.1。但事实是，计算机存储的是一个非常接近 0.1 的近似值。这不是编译器的缺陷，也不是硬件的问题，而是浮点数表示机制的必然结果。理解这个机制，是理解所有数值计算问题的起点。
问题的起源：有限的 bit 如何表示无限的实数

计算机只能处理 0 和 1。整数容易表示，因为它们本身就可以精确地转换为二进制。但实数是连续的，它们在数轴上密密麻麻地分布着，而我们只有有限个 bit 可以使用。这就像用有限个标记点去标识一条无限延伸的直线，必然会有大量的数值无法被精确标记。
更具体地说，当我们用 32 个 bit 来表示浮点数时，我们只能表示 2^32 约等于 42 亿个不同的数值。而实数有无穷多个，即使只考虑 0 到 1 之间的实数，也有无穷多个。这意味着绝大多数实数根本无法被精确表示，计算机只能选择最接近的那个可表示的值。
这就是浮点数表示的根本困境：用有限的编码空间去逼近无限的数值空间。IEEE 754 标准定义的浮点数格式，就是在这个约束下做出的最优工程设计。
浮点数的表示：二进制科学计数法

计算机采用的解决方案是二进制科学计数法。在十进制中，我们写 1.23 × 10^4 来表示 12300，这样可以用较少的位数表示较大范围的数值。浮点数也采用了同样的思路，只不过基数是 2 而不是 10。
以 C++ 中的 float 类型为例，它占用 32 个 bit，被划分为三个部分。第一个 bit 是符号位，决定这个数是正是负。接下来的 8 个 bit 是指数位，决定这个数的量级大小。最后的 23 个 bit 是尾数位，决定这个数的精确度。
这个设计的数学形式是：(-1)^s × 2^(e-127) × (1.f)，其中 s 是符号位，e 是指数位的值，f 是尾数位表示的小数部分。这里有两个关键细节。第一，指数位存储的是 e，但实际使用时要减去 127，这个 127 叫做偏置值。第二，尾数部分的整数位永远是 1，所以不需要存储，只存储小数部分，这叫做隐式前导位。
让我们看一个具体例子。数值 2.5 在二进制中是 10.1，写成规格化的科学计数法是 1.01 × 2^1。符号位是 0 表示正数，指数是 1 但存储时要加上偏置 127 得到 128，尾数是 01 后面补 21 个零。这样，2.5 就被精确地编码进了 32 个 bit 中。
我们可以用代码验证这一点：
[code]#include #include #include int main() {    float x = 2.5f;        // 将 float 的内存表示解释为整数    uint32_t bits;    std::memcpy(&bits, &x, sizeof(float));        // 输出二进制表示    std::cout