组合、多重循环、Σn²、Σn³

从6个数中取3个，有C(6,3)=6×5×4÷3!种情况。组合把123、132、231、213、312、321看作一种情况。
我们规定取数时，“后来者必须居上”，上述6个中就只有123一种合法。
我们可以sort后放进集合，但像冒泡排序那样的方法不仅更简单，而且更描述了取法：j从i+1开始，k从j+1开始。
我们还可以setFactory = SetFactory::getSetFactory()，再setFactory.createSet()
再看C(6,2)，循环变为两重，i=1..n，j=2..n, sum=(n-1)+(n-2)+...+1，倒过来写就是Σn的求和公式。
请看下面的程序：

1. r = range; N = 6 + 1
3. sum = 0
4. for i in r(1, N):
5.   for j in r(i+1, N):
6.     for k in r(j+1, N): sum += 1
7. print(sum) # 20
9. def fn (i):
10.   sum = 0
11.   for j in r(i+1, N):
12.     for k in r(j+1, N): sum += 1
13.   return sum
15. c2 = lambda n: n * (n - 1) // 2
17. print(fn(1), fn(2), fn(3), fn(4)) # 10 6 3 1
18. print(c2(5), c2(4), c2(3), c2(2)) # 10 6 3 1

复制代码

第一个球拿了1后，后面两个球的选择还比较多。拿了4后，后面就只能5、6了。内两层循环也是算组合。
C(n,2) = (Σn² - Σn) / 2；Σn的已知。有点像数学归纳法但不是。
数学归纳法在本例是：从天上掉下来个求和公式，n=1时成立，如果n=k时成立，非常非常容易证明n=k+1时也成立。
反复套这个方法，可得Σn的任意次方的求和公式。AI知道这个：

 

 

朱世杰恒等式可通过组合数加法公式（杨辉三角性质）递推证明，核心是 “裂项相消”。
朱世杰（约1249—约1314）被誉为 “中世纪世界最伟大的数学家之一”，与宋代的秦九韶、李冶、杨辉并称为 “宋元数学四大家”。

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