ARC205_B Triangle Toggle题解

ARC205_B Triangle Toggle

问题陈述

有一个完整的图，图中有 \(n\) 个顶点，编号为 \(1\) 至 \(n\) 。每条边的颜色为黑色或白色。对于 \(i=1,2,\ldots,m\) ，连接顶点 \(U_i\) 和 \(V_i\) 的边被涂成黑色，其他所有的边都被涂成白色。
您可以执行以下操作零次或多次。

• 选择满足 \(1\leq a\leq b\leq c\leq N\) 的整数 \((a,b,c)\) ，并将以下三条边分别重新涂色：白色涂成黑色，黑色涂成白色。
  
  
  
  • 连接顶点 \(a\) 和 \(b\) 的边
    
  • 连接顶点 \(b\) 和 \(c\) 的边
    
  • 连接顶点 \(a\) 和 \(c\) 的边
    
  
  

请找出在进行适当操作时最多可以被涂成黑色的边的数量。

[!NOTE]

• \(3\leq n\leq 2\times 10^5\)
  
• \(0\leq m\leq 2\times 10^5\)
  
• \(1\leq U_i < V_i\leq N\)
  
• \((U_i , V_i) \neq (U_j , V_j)\) \((i \neq j)\)
  

思路

首先考虑 \(m=0\) 时的最优解

1. \(n\) 为奇数

当顶点数为 \(n\) 时的最优解为 \(f(n)\) ，则需由 \(f(n)\) 推导 \(f(n+2)\) 。
新加入的两个顶点与其余的 \(n\) 个顶点都能构成三角形，但是新加入的两顶点之间的边重复计算 \(n\) 次。
因为 \(n\) 为奇数，所以两顶点之间的边最终为黑色，
所以最后增加的黑色边数为 \(2n+1\) 。

\[f(n+2)=f(n)+2n+1\quad(n为奇数)\]
2. \(n\) 为偶数

同理：新加入的两个顶点与其余的 \(n\) 个顶点都能构成三角形。
但是因为 \(n\) 为偶数，所以两顶点之间的边经过偶数次计算后为白色，
所以增加的黑色边数为 \(2n\) 。

\[f(n+2)=f(n)+2n\quad (n为偶数)\]
显然: \(f(3)=3,f(4)=4\) 。
整理可得：

\[f(n)=\frac{n(n-1)}{2}\quad (n为奇数)\]

\[f(n)=\frac{n(n-2)}{2}\quad (n为偶数)\]
其次考虑 \(m\ne 0\) 的情况

其实就是在 \(m=0\) 时的最优解上进行修改
重点来了！！！

对于
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