场论笔记（三）矢量分析基础

场论笔记（三）矢量分析基础

​       矢量分析是矢量代数的继续，是场论的基础知识，同时也是弹性波动力学等其他学科的有用工具。其本笔记主要内容是介绍矢性函数，矢端曲线及其微分，积分计算及其性质。
1.1矢性函数

​       在矢量代数中，曾经学过矢量的模长和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢(注意：零矢量的方向为任意，可作为一种特殊的常矢量)；然而，在许多科学，技术问题中，我们常常遇到模长和方向或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
​     Definition 1.1 设有数性变量\(t\)和变矢量\(\mathbf{A}\)，如果对于\(t\)在某个范围\(G\)内的每一个数值，变矢量\(\mathbf{A}\)都以一个确定的矢量和它对应，则称\(\mathbf{A}\) 为数性变量\(t\)的矢量函数，记作

\[\mathbf{A}=\mathbf{A}(t) \tag{1.1.1}\]
并称\(\mathbf{G}\)为函数\(\mathbf{A}\)的定义域。
​      矢量函数\(\mathbf{A}(t)\)在\(Oxyz\)直角坐标系的三个坐标（即它的三个坐标系的投影），显然都是\(t\)的函数：

\[\mathbf{A}(t)=[A_x(t),A_y(t),A_z(t)] \tag{1.1.2}\]
所以，矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的坐标表达式为：

\[\mathbf{A}=A_x(t)\mathbf{i}+A_y(t)\mathbf{j}+A_z(t)\mathbf{k} \tag{1.1.3}\]
其中\(i,j,k\)为沿\(x,y,z\)三个坐标轴正向的单位矢量。可见，一个矢性函数和三个有序的数性函数（坐标）构成一一对应的关系。
1.2矢端曲线

​       本笔记所讲的矢量均指自由矢量，就是当两矢量的模长和方向相同时，就认为此二矢量是相等的。据此，为了能用图形来直观地表示矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的变化状态，我们就可以把\(\mathbf{A}(t)\)的起点取在坐标原点。这样，当\(t\) 变化时，矢量\(\mathbf{A}(t)\) 的终点\(\mathbf{M}\)就描绘出一条曲线\(l\); 这条曲线叫做矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的矢端曲线，亦叫做矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)的图形。
​      由矢量代数知道：起点在坐标原点\(\mathbf{O}\)，终点为\(\mathbf{M}(x,y,z)\)的矢量\(OM\)叫做点\(M\)(对于\(O\)点)的矢径，常用\(\mathbf{r}\)表示：

\[\mathbf{r}=OM=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} \tag{1.2.1}\]
当我们把矢量函数\(\mathbf{A}(t)\) 的起点取在坐标原点时，\(\mathbf{A}(t)\)实际上就成为其终点\(M(x,y,z)\)的矢径。因此，\(\mathbf{A}(t)\)的三个坐标\(A_x(t),A_y(t),A_z(t)\)就对应地等于其终点\(M\)的三个坐标\(x_{M},y_{M},z_{M}\)，即有

\[\begin{cases}x_{M}&=A_x(t)\\y_{M}&=A_y(t)\\z_{M}&=A_z(t)\\\end{cases}\tag{1.2.2}\]
式(1.1.2)就是矢端曲线\(l\)的以\(t\)为参数的参数方程。容易看出，曲线\(l\)的矢量方程式(1.3)和参数方程式(1.5)之间一一对应关系，只要知道其中的一个，就可以立刻写出另一个。
1.3矢性函数的极限和连续性

​       和数性函数一样，矢性函数的极限和连续性，是矢性函数的微分与积分的基础概念。兹分述如下：

​        Definition 1.2 矢性函数极限的定义： 设矢性函数\(\mathbf{A}(t)\)在点\(t_0\)的某个领域内有定义（但在\(t_0\)处可以没有定义），\(\mathbf{A_{0}}\)为一常矢。若对于任意给定的正数\(\varepsilon\), 都存在一个正数\(\delta\)，使得当\(t\)满足\(0