理想点（Ideal Point） 和 纳迪尔点（Nadir Point）
在多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）问题中，理想点（Ideal Point） 和 纳迪尔点（Nadir Point） 是两个重要的概念，常用于描述 Pareto 前沿的特征，帮助评估解的分布和收敛性。1. 理想点（Ideal Point）
定义
理想点是在所有目标上都最优的假想点，即：
[*]它的每个目标值都是所有 Pareto 解集中对应目标的最优值（极小值或极大值）。
[*]由于多目标优化通常存在目标冲突，理想点一般是不可行的，即实际问题中通常没有解能同时达到所有目标的最优值。
数学表示
设优化问题有 $M$个目标函数 $f_1, f_2, \dots, f_M$，理想点的每个分量计算如下：
$ z^*_i = \min_{x \in \mathcal{X}} f_i(x), \quad i = 1,2,\dots,M $
其中：
[*]$\mathcal{X}$ 是可行解空间，
[*]$f_i(x)$ 是目标函数 iii 的值，
[*]$z^*_i$ 是理想点在第 iii 个目标上的值。
作用
[*]衡量解集向最优解的靠近程度（delta_ideal）。
[*]在方法如理想点法（Ideal Point Method）或Chebyshev 方法中用于计算加权偏好。
[*]计算归一化目标值，便于分析目标函数的尺度差异。
2. 纳迪尔点（Nadir Point）
定义
纳迪尔点是在所有目标上都最差的假想点，即：
[*]它的每个目标值都是所有 Pareto 解集中对应目标的最劣值（最大值或最小值）。
[*]纳迪尔点一般也不可行，因为它假设所有目标同时处于各自的最坏情况。
数学表示
类似于理想点，纳迪尔点的计算如下：
$ z^\text{nad}_i = \max_{x \in \mathcal{X}_P} f_i(x), \quad i = 1,2,\dots,M $
其中：
[*]$\mathcal{X}_P$ 是 Pareto 前沿上的解集，
[*]$z^\text{nad}_i$ 是纳迪尔点在第 iii 个目标上的值。
作用
[*]衡量 Pareto 解集的扩展程度（delta_nadir）。
[*]用于归一化目标值，计算分布均匀性。
[*]在**指标如超体积（Hypervolume）**等评估方法中用于计算参考点。
3. 理想点与纳迪尔点的区别
理想点（Ideal Point）纳迪尔点（Nadir Point）定义Pareto 前沿各目标的最优值Pareto 前沿各目标的最劣值计算方式取所有解在每个目标上的最小值（或最大值）取 Pareto 前沿解在每个目标上的最大值（或最小值）可行性一般不可行一般不可行用途衡量解的最优性、用于加权目标优化衡量 Pareto 解的扩展性、用于归一化相关指标delta_ideal（理想点收敛度）delta_nadir（解集扩展性）4. 图示
可以用 2 维目标优化问题直观理解：
总结
[*]理想点（Ideal Point）：最优但不可行的假想目标值，用于衡量收敛性。
[*]纳迪尔点（Nadir Point）：最差但不可行的假想目标值，用于衡量解集扩展性。
[*]这些概念常用于多目标优化算法，如NSGA-II、NSGA-III 和 MOEA/D，帮助评估解的质量和多样性。
有用链接 https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-objective_optimization
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