考研高等数学笔记01：函数与极限绪论

姨番单 发表于 2026-1-15 20:00:02

<h1 id="考研高等数学笔记01函数与极限-绪论">考研高等数学笔记01：函数与极限绪论</h1>
<h1 id="1-绪论">1 绪论</h1>
<h2 id="11-微积分研究的主要内容">1.1 微积分研究的主要内容</h2>
微积分研究的主要内容是：事物运动中的数量变化规律，包括：
\[事物运动中的数量变化规律
\begin{cases}
观察方式\begin{cases}宏观\\微观\end{cases}\\\\
变化方式\begin{cases}均匀变化\\非均匀变化\end{cases}
\end{cases}
\]<h2 id="12-微观方式的研究示例">1.2 微观方式的研究示例</h2>
（1）均匀变化：
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)
设该物体的移动速度为\(v\)，则有：
\[\tag{1}
v = \frac{\Delta s}{t_n - t_0}
\]（2）非均匀变化
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始进行非匀速移动，至某时刻\(t_n\)时，该物体的移动距离为\(\Delta s\)
设\(t_0\)时刻至\(t_n\)时刻间该物体的平均移动速度为\(\overline{v}\)，则有：
\[\tag{2}
\overline{v} = \frac{\Delta s}{t_n - t_0}
\]设\(t_n\)时刻，该物体的瞬时速度为\(v_1\)，则有：
\[\tag{3}
v_1 \approx \overline{v}
\]且有：
\[v_1 = \lim_{t_n \to t_0}{\overline{v}}
\]\[\qquad\qquad= \lim_{t_n \to t_0}{\frac{\Delta s}{t_n - t_0}}
\]\[\qquad\quad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}
\]\[\tag{4}
\quad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}}
\]\[\tag{5}
\quad=\frac{ds}{dt}
\]<h2 id="13-宏观方式的研究示例">1.3 宏观方式的研究示例</h2>
（1）均匀变化：
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，以速度\(v\)进行匀速移动，至某时刻\(t_n\)
设\(t_n\)时刻该物体的移动距离为\(s\)，则有：
\[\tag{6}
s = v\cdot (t_n-t_0)
\]（2）非均匀变化
设水平面上存在一物体，该物体从某时刻\(t_0\)开始，进行非匀速移动，至某时刻\(t_n\)
设存在\(t_0\)至\(t_n\)间的某时刻\(t_{k-1}\)及某时刻\(t_k(t_k > t_{k-1})\)，且存在对应的瞬时速度\(v_{k-1}\)、\(v_k\)，使：
\[\tag{7}
v_k \approx v_{k-1} \approx v(\xi_k)
\]设存在\(t_{k-1}\)至\(t_k\)间的移动距离\(\Delta s_k\)，则有：
\[\tag{8}
\Delta s_k \approx v(\xi_k) \cdot (t_k - t_{k-1}) \approx v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\]设物体从\(t_0\)时刻至\(t_n\)时刻的总移动距离为\(s\)，则有：
\[\tag{9}
s \approx \sum_{k=1}^n \Delta s_k \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k
\]由极限相关性质可得：
\[\tag{10}
\qquad\qquad s=\lim_{\Delta t_k \to 0}{\sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k}
\]\[\tag{11}
=\int_{t_0}^{t_n} v(t) dt
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悯拄等 发表于 2026-1-18 08:47:36

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旌磅箱 发表于 2026-1-20 02:29:47

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普料飕 发表于 2026-1-20 15:02:39

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咫噎发表于 2026-1-21 11:21:10

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汹萃热 发表于 2026-1-22 04:13:48

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即息极 发表于 2026-1-27 11:51:16

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判涔发表于 2026-1-29 08:40:30

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瞪皱炕 发表于 2026-2-2 04:49:00

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滥眩发表于 2026-2-3 04:46:43

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臧莞然 发表于 2026-2-6 06:31:38

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赖秀竹 发表于 2026-2-7 04:25:40

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谧怏弦 发表于 2026-2-8 00:09:22

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捡嫌发表于 2026-2-8 16:37:15

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晁红叶 发表于 2026-2-9 02:13:44

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老僻贞 发表于 2026-2-9 06:38:40

前排留名，哈哈哈

哈梨尔 发表于 2026-2-10 13:48:21

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恿榫发表于 2026-2-10 21:42:41

收藏一下不知道什么时候能用到

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