点分治之砍树大师
从“分治”到“点分治”在算法世界里，“分治”几乎是最经典的套路：把一个大问题拆成若干规模较小的子问题，递归解决，再把答案拼接。归并排序、快速幂，都是这样耳熟能详的例子。
数组有天然的“中点”，可以左右对半分；而无根树由节点与边连接，我们也可以选择一个节点，将树分为多个部分分治，这就叫做“点分治”。
不过，树没有一个显眼的“中间位置”。如果随便选择一个点砍掉，得到的子树大小可能极不均衡，递归效率就会大打折扣。这时，就需要一个“树上的中点”——它能保证我们每次分裂后，剩下的子树都不会太大。这个“中点”，正是重心（centroid）。
于是我们就得到了“点分治”——在树上实现分治的一种方式。核心套路是：
[*]找出树的重心。
[*]处理所有“经过重心”的答案。
[*]删除重心，递归处理每个子树。
每一步看似简单，合在一起就是一个强大的框架。
点分治的思想与重心
我们来看一个需要点分治解决的经典问题：
给定一棵 无根带权树（边权为正整数），有 \(M\) 个询问，每个询问给出一个整数 \(k\)，问树上有多少对点 \(\{u, v\}\) 满足 距离(u, v) = k。
总的来说，点分治用分治的方法来统计路径，他的思想是：
[*]选一个点作为根节点。
[*]这样一来，所有路径要么两端来自两个子树并经过根节点（一端刚好就在根节点的也可以算作这个情况），要么两端都在同一个子树内，那么它没有经过根节点而完整地落在某个子树里，这就交给下一层递归去处理。
[*]只处理前一种情况，然后我们递归处理每一个子树，后一种情况最终一定在某个子树里被统计到。这样，每一条路径在整个递归中只会被统计一次，不会重复，不会漏掉。
为什么要经过重心？
重心的定义：如果在无根树中选择某个节点以他为根，使得所有子树大小的最大值达到最小，那么这个点就是树的重心。重心可能不唯一，但一定存在。重心就像是树的“平衡点”，它让树的分治递归变得可行且优雅，根据定义每个子树至多是原树的一半。
每层递归都会处理一棵规模为 \(N\) 的树，工作量是 \(O(N)\)。重心的性质保证子树最大规模 ≤ N/2，所以树的规模会对半缩小。递归深度约 \(O(\log N)\)。总体复杂度就是 \(O(N \log N)\)。
简单来说，每一次迭代都选取中心为根节点，才能保证子树规模快速减小。
标准流程
[*]找重心：DFS 统计子树大小，选出“最大子树最小”的点作为重心。
[*]收集信息：从重心出发，DFS 收集到各子树的路径信息。
[*]合并答案：用数据结构（桶、哈希、bitset……）处理跨子树的路径组合。
[*]递归下去：删除重心，在子树里继续重复上面的过程。注意，新的子树要重新找他自己的重心而不是原重心的子节点。
这四步就是点分治的主干骨架。不同问题，只是在第 2、3 步处理信息的方式不一样。
典型应用：树上距离 = k 的点对计数
回到上文经典问题。朴素做法枚举点对或者暴力搜索都是平方起步，肯定不行。点分治可以 \(O(N \log N)\) 高效解决问题。
用点分治怎么做？
在当前重心 \(c\)，考虑所有经过 \(c\) 的路径。这些路径可以拆成“两段”：dist(u,c) + dist(v,c)，我们只要在不同子树之间做“配对”即可。
[*]以重心为根：从重心出发，DFS 子树，收集 dist(c, x)。
[*]配对查询：设当前子树的距离集合为 D_sub，全局已有距离集合为 freq（来自之前处理过的子树）。
[*]对每个 \(d \in D_{sub}\)，对每个询问 \(k\)，若 freq > 0，则说明存在路径 (x, y) 距离为 \(k\)。
[*]更新集合：处理完配对后，把 D_sub 的元素加入 freq，供后面子树使用。
[*]递归：删去重心，继续对子树点分治。
图的存储
我们用邻接表保存树：
struct Edge {
int to, w;
};
vector<vector<Edge>> g;// g 存储节点 u 的所有邻边重心查找
重心 = 删除后，剩余子树最大规模最小的点。
int n;
vector<int> sz, max_sub;
vector<bool> vis;
int find_centroid(int u, int fa, int tot, int &best, int &root) {
sz = 1;
max_sub = 0;
for (auto : g) {
if (v == fa || vis) continue;
find_centroid(v, u, tot, best, root);
sz += sz;
max_sub = max(max_sub, sz);
}
max_sub = max(max_sub, tot - sz);
if (max_sub < best) {
best = max_sub;
root = u;
}
return root;
}收集距离（getDis）
DFS 收集从重心出发的所有距离。
void get_dist(int u, int fa, int d, vector<int> &dis) {
dis.push_back(d);
for (auto : g) {
if (v == fa || vis) continue;
get_dist(v, u, d + w, dis);
}
}点分治
[*]用一个哈希表/数组来保存 freq（已有子树的距离）。
[*]先查后加 避免同子树内重复配对。
unordered_map<int,int> freq;// 距离频次数组
vector<int> ks; // 询问集合
vector<long long> ans; // 每个询问的答案
void solve_centroid(int u, int tot) {
// 1. 找重心
int best = 1e9, root = -1;
find_centroid(u, -1, tot, best, root);
u = root;
vis = true;
// 2. 处理经过重心的路径
freq.clear();
freq = 1;// 重心自身到重心的距离为 0
for (auto : g) {
if (vis) continue;
vector<int> dis;
get_dist(v, u, w, dis);
// 查询阶段（先查）
for (int d : dis) {
for (int i = 0; i < (int)ks.size(); i++) {
// 这里每一个询问就分别查询了，假定询问不多。毕竟本文主题是点分治
int k = ks;
if (freq.count(k - d)) ans += freq;
}
}
// 更新阶段（再加）
for (int d : dis) freq++;
}
// 3. 递归到子树
for (auto : g) {
if (!vis) solve_centroid(v, sz < sz ? sz : tot - sz);
}
}参考主函数
int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int m; cin >> n >> m; g.assign(n+1, {}); sz.assign(n+1, 0); max_sub.assign(n+1, 0); vis.assign(n+1, false); for (int i = 1; i < n; i++) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; g.push_back({v, w}); g.push_back({u, w}); } ks.resize(m); ans.assign(m, 0); for (int i = 0; i < m; i++) cin >> ks; solve_centroid(1, n); for (int i = 0; i < m; i++) cout
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